Jika \(x-1, x-\frac{3}{2}, x-\frac{7}{4}\) adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah…
- \( -2 \)
- \( -1 \)
- \( -\frac{1}{2} \)
- \(1\)
- \( 2 \)
(Soal UM UGM 2007)
Pembahasan:
Dari deret geometri yang diberikan, kita peroleh hubungan berikut:
\begin{aligned} \left( x-\frac{3}{2} \right)^2 &= (x-1) \left( x-\frac{7}{4} \right) \\[8pt] x^2-3x+\frac{9}{4} &= x^2-\frac{11}{4}x+\frac{7}{4} \\[8pt] -3x+\frac{9}{4} &= -\frac{11}{4}x+\frac{7}{4} \\[8pt] -3x + \frac{11}{4}x &= \frac{7}{4}- \frac{9}{4} \\[8pt] -\frac{1}{4}x &= -\frac{2}{4} \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}
Barisan geometri dan jumlah tak hingga deret tersebut yaitu:
\begin{aligned} a = U_1 = x-1 &= 2-1 = 1 \\[8pt] U_2 = x-\frac{3}{2} &= 2-\frac{3}{2} = \frac{1}{2} \\[8pt] U_3 = x-\frac{7}{4} &= 2-\frac{7}{4} = \frac{1}{4} \\[8pt] r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = 1 \\[8pt] S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{aligned}
Jawaban E.